koentjoroningrat blog

Salah satu himpunan terstruktur yang ada pada Matematika yang disebut dengan ruang topologi, sama seperti himpunan terstruktur lainnya yang ada pada matematika seperti grup ataupun ruang vektor. Ruang topologi adalah suatu himpunan yang dilengkapi struktur, yang dilengkapi aturan-aturan. Apa saja aturan pada ruang topologi?

Definisi 1: Diberikan himpunan tak-kosong S, suatu kelas  yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari S dikatakan topologi pada S, jika memenuhi :
(i) S dan himpunan kosong termuat didalam t.
(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di t adalah anggota t .
(iii) Irisan dari dua himpunan di t adalah anggota t .

Anggota-anggota dari t disebut himpunan-himpunan terbuka dari t, dan pasangan (S, t) dikatakan ruang topologi

Contoh 1.
Diberikan S={a, b, c, d, e, f} dan maka merupakan topologi pada S, karena memenuhi semua kondisi dari definisi 1.
(i) S dan
(ii) untuk setiap , maka
(iii) untuk setiap , maka
Contoh 2.
Diberikan S={a,b,c,d,e} dan maka bukanlah topologi pada S karena gabungan {c,d} U {a,c,e} = {a,c,d,e} tidak termuat di . Itu artinya tidak memenuhi kondisi (ii) pada definisi 1.

Contoh 3.
Diberikan S = {1,2}. Himpunan yaitu Himpunan dari semua himpunan bagian dari S adalah = {S, ,{1},{2}}. Beberapa topologi diantaranya:

Topologi Khusus
Beberapa topologi khusus diantaranya Topologi Indiskrit, topologi Diskrit dan Topologi Kofinit.

Definisi 2: Diberikan S himpunan tak-kosong dan t adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari S maka t disebut topologi diskrit, sedangkan ruang topologi (S,t) disebut ruang diskrit.
Dengan mudah kita cek bahwa definisi 2 memenuhi semua kondisi dari definisi 1, jadi definisi 2 juga merupakan topologi

Definisi 3: Diberikan S himpunan tak-kosong dan t={S, } maka t disebut topologi indiskrit, sedangkan ruang topologi (S,t) disebut ruang indiskrit.
Sekali lagi kita harus cek bahwa definsi 3 memenuhi semua kondisi dari definisi 1. Jadi, semua himpunan tak-kosong dapat kita bentuk menjadi topologi baik topologi diskrit maupun topologi indiskrit.

Definisi 4: Misal (S,t) ruang topologi, adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari himpunan-himpunan buka dari t, maka adalah topologi pada S yang disebut topologi kofinit.

Himpunan Terbuka (Open Set)

Definisi 5: Untuk setiap anggota t disebut himpunan-himpunan terbuka.

Contoh:
, S={a,b,c} maka anggota dari himpunan terbuka = , {a} dan S.
maka anggota himpunan terbuka dari = , {a}, {b,c} dan S. Akan tetapi {b,c} bukan himpunan terbuka dari .

Himpunan Tertutup (Closed Set)

Definisi 6: Misal F S, F dikatakan himpunan tertutup jika Komplemennya adalah himpunan terbuka. Dengan kata lain
F tertutup terbuka.

Contoh:
F = himpunan bagian dari maka himpunan tertutup dari adalah .
Jadi dan S adalah anggota dari himpunan terbuka dan tertutup.
maka himpunan tertutup dari adalah
= {S,{b,c},{a}, }.

Teorema 1
Dalam Ruang Topologi (S, ), himpunan bagian A dari S adalah terbuka jika dan hanya jika tertutup dan berlaku juga:
(i) S, tertutup
(ii) Jika tertutup maka juga tertutup.
(iii) Jika tertutup maka juga tertutup.
Bukti:
(i) S, adalah terbuka, sehingga
dan juga tertutup.
(ii) Misalkan tertutup sehingga
terbuka untuk , maka dengan menggunakan definisi topologi pada aksioma (ii)
terbuka
terbuka
tertutup.
(iii) Misalkan tertutup sehingga
terbuka untuk , maka dengan menggunakan definisi topologi pada aksioma (iii)
terbuka
terbuka
tertutup.

Contoh:
S= {a,b,c,d,e}, A1= {a,b}, A2={b,c} dimana A1 dan A2 tertutup. Maka
A1 A2 = {a,b} {b,c} = {b} terututup
A1 A2 = {a,b} {b,c} = {a,b,c} tertutup.
Dan A1C = S – A1 = S – {a,b} = {c,d,e} terbuka
A2C = S – A2 = S – {b,c} = {a,d,e} terbuka
Sehingga
(S – A1) (S – A2) = {c,d,e} {a,d,e}
= {d,e} juga terbuka

Himpunan tidak tertutup dan tidak terbuka

Definisi 7: F tidak tertutup jika dan hanya jika FC tidak buka.

Contoh:
Diberikan ruang topologi (S, ) dengan S ={a,b,c,d,e,f} dan
adalah himpunan terbuka sehingga himpunan tertutupnya adalah
. Dengan demikian
S, , {a} dan {b,c,d,e,f} adalah himpunan terbuka dan himpunan tertutup.
{c,d} dan {a,c,d} adalah himpunan terbuka tetapi tidak tertutup.
{a,b,e,f} adalah himpunan tertutup tetapi tidak terbuka.
{b,c} dan {e,f}adalah himpunan tidak terbuka dan tidak tertutup

Penutup Suatu Himpunan (Closure)

Definisi 8: Jika (S, ) adalah ruang topologi dan penutup dari A ditulis adalah interseksi (irisan) semua himpunan tertutup yang memuat A.
dan F tertutup}

Contoh:
untuk S = {a, b, c, d, e}
Tentukan , , ?
Jawab:

= S {b,c,d,e} {a,b,e} {b,e} = {b,e}
= S {a,b,e} {a} = {a}
= S {b,c,d,e} = {b,c,d,e}
= S
= S {b,c,d,e} = {b,c,d,e}

>> (S, ) adalah ruang topologi cofinite, jika
(i) A berhingga maka
(ii) A tak berhingga maka
Contoh:
; S={a,b,c,d,e} sehingga
maka A berhingga sehingga
Titik limit

Definisi 9: Jika (S, ) adalah ruang topologi, titik disebut titik limit dari A, jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terbuka yang memuat p, memuat sekurang-kurangnya satu titik dari A yang lain dengan , maka .
Himpunan titik limit dari A disebut himpunan turunan dari A yang dinotasikan .

Contoh:
S={a,b,c,d,e}, merupakan topologi dan A={a,b,c}. Apakah A merupakan titik limit dari A?
Jawab:

{a} - {a}
 jadi a bukan titik limit dari A

{b,c,d,e} - {b}
{c,d,e} {a,b,c}={c}
{a,b,c,d,e}-{b}
{a,c,d,e} {a,b,c}={a,c}
 jadi b titik limit dari A

{c,d} - {c}
{d} {a,b,c}=
 jadi c bukan titik limit dari A

{c,d} - {d}
{c} {a,b,c}={c}
{a,c,d} - {d}
{a,c} {a,b,c}={a,c}
{b,c,d,e}-{d}
{b,c,e} {a,b,c}={b,c}
{a,b,c,d,e}-{d}
{a,b,c,e} {a,b,c}={a,b,c}
 jadi d titik limit dari A

{b,c,d,e}-{e}
{b,c,d} {a,b,c}={b,c}
{a,b,c,d,e}-{e}
{a,b,c,d} {a,b,c}={a,b,c}
 jadi e titik limit dari A

Titik Interior

Definisi 10: Jika (S, ) adalah ruang topologi dan . Titik disebut titik interior A jika dengan G himpunan terbuka.
Himpunan titik-titik dalam A ditulis atau int (A) atau interior dari A.

Contoh:
A=(a,b], S=
Int (a,b]=(a,b) dimana
B=[a,b]
Int [a,b] =(a,b) dimana dan

Interior dari suatu himpunan A adalah gabungan dari semua himpunan terbuka yang termuat dalam A, sehingga
(i) terbuka
(ii) adalah himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A yaitu .
(iii) A terbuka jika dan hanya jika

Contoh:
S={a,b,c,d,e} dan
Misal A={b,c,d} maka Int (A)={c,d}
Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a} {c,d} {a,c,d}={a,c,d}.

Titik Eksterior
Titik eksterior dari A ditulis Eks (A) adalah interior dari komplemen A.
Eks(A)=Int( )

Contoh: S={a,b,c,d,e} dan
A={b,c,d}, ={a,e} maka Int ( )=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)={a}
B={a,c,d}, ={b,e} maka Int({b,e})= , sehingga Eks(B)= .
Perbatasan dan Titik Batas

Definisi 11: Perbatasan (boundary) adalah himpunan titik-titik yang bukan anggota Interior dari A maupun eksterior dari A.
Perbatasan A ditulis b(A). Dengan kata lain
b(A) =(int(A) eks(A))C
=(int(A))C (Eks(A))C

Contoh:
S={a,b,c,d,e} dan
Misal A={b,c,d} maka Int (A)= {c,d}
Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a} {c,d} {a,c,d}={a}.
={a,e} maka Int ( )=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)= {a}
={b,e} maka Int({b,e})= , sehingga Eks(B)= .
Jadi b(A) = (int(A))C (Eks(A))C
= {c,d} C {a} C
= {a,b,e} {b,c,d,e}
= {b,e}
b(B) = (int(B))C (Eks(B))C
= {a} C { } C
= {b,c,d,e} {a,b,c,d,e}
= {b,c,d,e}

Definisi 12: Jika (S, ) adalah ruang topologi maka dikatakan titik batas dari jika dan hanya jika , maka

Contoh:
A=(a,b] maka Int(A)=(a,b)
maka Eks (A)=Int( )=
Sehingga b(A)={a,b}

Teorema 2:
Jika (S, ) adalah ruang topologi dan maka dan .

Contoh:
A=(a,b], Int(A)=(a,b) dan b(A)={a,b}.
=(a.b) {a,b}=[a,b]
=[a,b] maka

• A dikatakan tidak rapat dimana-mana pada S jika Int( )= .
• Titik disebut titik terasing jika .
• Suatu himpunan bagian dari S disebut sempurna jika himpunan tersebut tertutup dan tidak mempunyai titik terasing.

Contoh:
1. Q adalah bilangan Rasional.
, maka Int ( )=  jadi Q tidak rapat dimana-mana.
Q- = , =Q  jadi Q tidak mempunyai titik terasing.
2.
Int =  Jadi tidak rapat dimana-mana.
3. A= , titik limit dari A = 0
jadi semuanya adalah titik terasing kecuali 0.
Int =  tidak rapat dimana-mana.

Persekitaran

Definisi 13: Jika (S, ) adalah ruang topologi maka , disebut persekitaran p jika sedemikian hingga .
Dengan kata lain:
adalah persekitaran jika dan hanya jika N memuat suatu himpunan buka yang memuat p.
Simbol: , N(p) atau N(p,r) artinya Persekitaran di titik pusat p dengan jari-jari r.

Contoh:
1. Tentukan yaitu persekitaran titik 0 pada interval dibawah ini:
a.  Ya ada.
b. [-1,0]  tidak ada.
c.  tidak ada.
d. (0,1]  tidak ada.

2. Tentukan dari S={a,b,c,d,e} dan
?
Jawab:
Himpunan buka yang memuat b = {S, {a,b}, {a,b,c,d}, {a,b,e}}
Himpunan bagian S yang memuat S=S
Himpunan bagian S yang memuat {a,b}
={{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}, S}
Himpunan bagian S yang memuat {a,b,c,d} ={{a,b,c,d}, S}
Himpunan bagian S yang memuat {a,b,e} = {a,b,e}, {a,b,d,e}, {a,b,c,e}, S}.

= himpunan buka yang memuat b Himpunan bagian S yang memuat S Himpunan bagian S yang memuat {a,b} Himpunan bagian S yang memuat {a,b,c,d} Himpunan bagian S yang memuat {a,b,e}
={S,{a,b},{a,b,c,d},{a,b,e}} S {{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},
{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},S} {{a,b,c,d},S} {a,b,e}, {a,b,d,e}, {a,b,c,e},S}
={S}

TUGAS

1. Jika S={a,b,c}, buktikan bahwa
Topologi pada S?

2. , dan .
Tentukan Interior dari A, Eksterior dari A, Batas dari A?

3. Jika S={a,b,c,d,e}, dan . Tentukan:
a. Himpunan terbuka dari ?
b. Himpunan tertutup dari ?
c. ,
d.
e. Titik limit dari a?
f. Titik interior dari A={a,b,c}?
g. Titik eksterior dari A?
h. Perbatasan dan titik batas dari A?

4. Jika S={1,2}, dan . Tentukan:
a. Himpunan terbuka dari ?
b. Himpunan tertutup dari ?
c. ,
d. Titik limit dari a?
e. Titik interior dari A={1}?
f. Titik eksterior dari A?
g. Perbatasan dan titik batas dari A?
h. Persekitaran dari A?

Fkip Matematika
Kelas A / 2009
Nama	NPM	No HP
Kuncoro Dwijatmiko	90401060274	085733311032
Yanuar Gusti Subachtiar	90401060018	085755344494
Aris Mahfudin	90401060008	085736091005
Dwi Wahyudi	90401060002	085646788943
Rohkani	90401060019	085755944707
Indawati	90401060037	085730123310
Ulul asmi	90401060029	08970322278
Siti Mariyah	90401060005	085815227789
Rudi Hendriyanto	90401060024	085755672975
Nur Muhammadi	90401060025	03419506697
Junaedi Afrilianto	90401060023	085746783129
Joyo Prasetyo	90401060017	085749569235

Ahcmad Gus Dedik	90401060022	085735197745
Shinta Nila Susanty	90401060038	085731547559
Fatchul Noris	90401060284	085649790934
Elok Nurhayati	90401060032	085730735724
Rieska Dwi Kartika Sari	90401060290	03419180335
Robertus W.L. Kilok	90401060014	081334214794
Vincensius Herianto N.	90401060011	081252558573
Fransiska Meltiadis	90401060015	081252715002
Felix vaLoys B.L. Wayan	90401060020	081233597201
Jumriah	90401060034	085755611029
Deadline Febri Y.	90401060031	085646490248
Efy Susanty	90401060009	087859750571
Evy Susanty	90401060004	081333680676
Intan Murtika Dewi	90401060007	085236182717
Marisa Rizki K.	90401060010	089804827796
Eka Lutfiana	90401060016	081252171866
Nova Noviana	90401060027	085649974067
Resha Natanael S.	90401060003	085755040275
Rahmi Desyani	90401060039	085759308202
Welliyawati Puspitasari	90401060013	085815125924
Wijayanti Ari S.	90401060012	03413780098

"Mangga sedaya"

Kamis, 24 Maret 2011

Topologi dan Ruang Topologi

Kamis, 03 Maret 2011

Personas for Firefox | the_joker_2

Selasa, 22 Februari 2011

Selasa, 08 Februari 2011

koentjoroningrat blog: video photo slide + lagu jmp

video photo slide + lagu jmp

Jumat, 04 Februari 2011

daftar nama mat A 2009

Pengikut