Kamis, 24 Maret 2011

Topologi dan Ruang Topologi

Salah satu himpunan terstruktur yang ada pada Matematika yang disebut dengan ruang topologi, sama seperti himpunan terstruktur lainnya yang ada pada matematika seperti grup ataupun ruang vektor. Ruang topologi adalah suatu himpunan yang dilengkapi struktur, yang dilengkapi aturan-aturan. Apa saja aturan pada ruang topologi?

Definisi 1: Diberikan himpunan tak-kosong S, suatu kelas  yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari S dikatakan topologi pada S, jika memenuhi :
(i) S dan himpunan kosong termuat didalam t.
(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di t adalah anggota t .
(iii) Irisan dari dua himpunan di t adalah anggota t .

Anggota-anggota dari t disebut himpunan-himpunan terbuka dari t, dan pasangan (S, t) dikatakan ruang topologi

Contoh 1.
Diberikan S={a, b, c, d, e, f} dan maka merupakan topologi pada S, karena memenuhi semua kondisi dari definisi 1.
(i) S dan
(ii) untuk setiap , maka
(iii) untuk setiap , maka
Contoh 2.
Diberikan S={a,b,c,d,e} dan maka bukanlah topologi pada S karena gabungan {c,d} U {a,c,e} = {a,c,d,e} tidak termuat di . Itu artinya tidak memenuhi kondisi (ii) pada definisi 1.

Contoh 3.
Diberikan S = {1,2}. Himpunan yaitu Himpunan dari semua himpunan bagian dari S adalah = {S, ,{1},{2}}. Beberapa topologi diantaranya:




Topologi Khusus
Beberapa topologi khusus diantaranya Topologi Indiskrit, topologi Diskrit dan Topologi Kofinit.

Definisi 2: Diberikan S himpunan tak-kosong dan t adalah koleksi dari semua himpunan bagian dari S maka t disebut topologi diskrit, sedangkan ruang topologi (S,t) disebut ruang diskrit.
Dengan mudah kita cek bahwa definisi 2 memenuhi semua kondisi dari definisi 1, jadi definisi 2 juga merupakan topologi

Definisi 3: Diberikan S himpunan tak-kosong dan t={S, } maka t disebut topologi indiskrit, sedangkan ruang topologi (S,t) disebut ruang indiskrit.
Sekali lagi kita harus cek bahwa definsi 3 memenuhi semua kondisi dari definisi 1. Jadi, semua himpunan tak-kosong dapat kita bentuk menjadi topologi baik topologi diskrit maupun topologi indiskrit.

Definisi 4: Misal (S,t) ruang topologi, adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari himpunan-himpunan buka dari t, maka adalah topologi pada S yang disebut topologi kofinit.

Himpunan Terbuka (Open Set)

Definisi 5: Untuk setiap anggota t disebut himpunan-himpunan terbuka.

Contoh:
, S={a,b,c} maka anggota dari himpunan terbuka = , {a} dan S.
maka anggota himpunan terbuka dari = , {a}, {b,c} dan S. Akan tetapi {b,c} bukan himpunan terbuka dari .

Himpunan Tertutup (Closed Set)

Definisi 6: Misal F S, F dikatakan himpunan tertutup jika Komplemennya adalah himpunan terbuka. Dengan kata lain
F tertutup terbuka.

Contoh:
F = himpunan bagian dari maka himpunan tertutup dari adalah .
Jadi dan S adalah anggota dari himpunan terbuka dan tertutup.
maka himpunan tertutup dari adalah
= {S,{b,c},{a}, }.

Teorema 1
Dalam Ruang Topologi (S, ), himpunan bagian A dari S adalah terbuka jika dan hanya jika tertutup dan berlaku juga:
(i) S, tertutup
(ii) Jika tertutup maka juga tertutup.
(iii) Jika tertutup maka juga tertutup.
Bukti:
(i) S, adalah terbuka, sehingga
dan juga tertutup.
(ii) Misalkan tertutup sehingga
terbuka untuk , maka dengan menggunakan definisi topologi pada aksioma (ii)
terbuka
terbuka
tertutup.
(iii) Misalkan tertutup sehingga
terbuka untuk , maka dengan menggunakan definisi topologi pada aksioma (iii)
terbuka
terbuka
tertutup.

Contoh:
S= {a,b,c,d,e}, A1= {a,b}, A2={b,c} dimana A1 dan A2 tertutup. Maka
A1 A2 = {a,b} {b,c} = {b} terututup
A1 A2 = {a,b} {b,c} = {a,b,c} tertutup.
Dan A1C = S – A1 = S – {a,b} = {c,d,e} terbuka
A2C = S – A2 = S – {b,c} = {a,d,e} terbuka
Sehingga
(S – A1) (S – A2) = {c,d,e} {a,d,e}
= {d,e} juga terbuka

Himpunan tidak tertutup dan tidak terbuka

Definisi 7: F tidak tertutup jika dan hanya jika FC tidak buka.

Contoh:
Diberikan ruang topologi (S, ) dengan S ={a,b,c,d,e,f} dan
adalah himpunan terbuka sehingga himpunan tertutupnya adalah
. Dengan demikian
S, , {a} dan {b,c,d,e,f} adalah himpunan terbuka dan himpunan tertutup.
{c,d} dan {a,c,d} adalah himpunan terbuka tetapi tidak tertutup.
{a,b,e,f} adalah himpunan tertutup tetapi tidak terbuka.
{b,c} dan {e,f}adalah himpunan tidak terbuka dan tidak tertutup

Penutup Suatu Himpunan (Closure)

Definisi 8: Jika (S, ) adalah ruang topologi dan penutup dari A ditulis adalah interseksi (irisan) semua himpunan tertutup yang memuat A.
dan F tertutup}

Contoh:
untuk S = {a, b, c, d, e}
Tentukan , , ?
Jawab:

= S {b,c,d,e} {a,b,e} {b,e} = {b,e}
= S {a,b,e} {a} = {a}
= S {b,c,d,e} = {b,c,d,e}
= S
= S {b,c,d,e} = {b,c,d,e}

>> (S, ) adalah ruang topologi cofinite, jika
(i) A berhingga maka
(ii) A tak berhingga maka
Contoh:
; S={a,b,c,d,e} sehingga
maka A berhingga sehingga
Titik limit

Definisi 9: Jika (S, ) adalah ruang topologi, titik disebut titik limit dari A, jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terbuka yang memuat p, memuat sekurang-kurangnya satu titik dari A yang lain dengan , maka .
Himpunan titik limit dari A disebut himpunan turunan dari A yang dinotasikan .

Contoh:
S={a,b,c,d,e}, merupakan topologi dan A={a,b,c}. Apakah A merupakan titik limit dari A?
Jawab:


{a} - {a}
 jadi a bukan titik limit dari A


{b,c,d,e} - {b}
{c,d,e} {a,b,c}={c}
{a,b,c,d,e}-{b}
{a,c,d,e} {a,b,c}={a,c}
 jadi b titik limit dari A


{c,d} - {c}
{d} {a,b,c}=
 jadi c bukan titik limit dari A


{c,d} - {d}
{c} {a,b,c}={c}
{a,c,d} - {d}
{a,c} {a,b,c}={a,c}
{b,c,d,e}-{d}
{b,c,e} {a,b,c}={b,c}
{a,b,c,d,e}-{d}
{a,b,c,e} {a,b,c}={a,b,c}
 jadi d titik limit dari A


{b,c,d,e}-{e}
{b,c,d} {a,b,c}={b,c}
{a,b,c,d,e}-{e}
{a,b,c,d} {a,b,c}={a,b,c}
 jadi e titik limit dari A

Titik Interior

Definisi 10: Jika (S, ) adalah ruang topologi dan . Titik disebut titik interior A jika dengan G himpunan terbuka.
Himpunan titik-titik dalam A ditulis atau int (A) atau interior dari A.

Contoh:
A=(a,b], S=
Int (a,b]=(a,b) dimana
B=[a,b]
Int [a,b] =(a,b) dimana dan

Interior dari suatu himpunan A adalah gabungan dari semua himpunan terbuka yang termuat dalam A, sehingga
(i) terbuka
(ii) adalah himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A yaitu .
(iii) A terbuka jika dan hanya jika

Contoh:
S={a,b,c,d,e} dan
Misal A={b,c,d} maka Int (A)={c,d}
Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a} {c,d} {a,c,d}={a,c,d}.

Titik Eksterior
Titik eksterior dari A ditulis Eks (A) adalah interior dari komplemen A.
Eks(A)=Int( )

Contoh: S={a,b,c,d,e} dan
A={b,c,d}, ={a,e} maka Int ( )=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)={a}
B={a,c,d}, ={b,e} maka Int({b,e})= , sehingga Eks(B)= .
Perbatasan dan Titik Batas

Definisi 11: Perbatasan (boundary) adalah himpunan titik-titik yang bukan anggota Interior dari A maupun eksterior dari A.
Perbatasan A ditulis b(A). Dengan kata lain
b(A) =(int(A) eks(A))C
=(int(A))C (Eks(A))C

Contoh:
S={a,b,c,d,e} dan
Misal A={b,c,d} maka Int (A)= {c,d}
Misal B={a,c,d} maka Int (B)={a} {c,d} {a,c,d}={a}.
={a,e} maka Int ( )=Int({a,e})={a}, sehingga Eks(A)= {a}
={b,e} maka Int({b,e})= , sehingga Eks(B)= .
Jadi b(A) = (int(A))C (Eks(A))C
= {c,d} C {a} C
= {a,b,e} {b,c,d,e}
= {b,e}
b(B) = (int(B))C (Eks(B))C
= {a} C { } C
= {b,c,d,e} {a,b,c,d,e}
= {b,c,d,e}

Definisi 12: Jika (S, ) adalah ruang topologi maka dikatakan titik batas dari jika dan hanya jika , maka


Contoh:
A=(a,b] maka Int(A)=(a,b)
maka Eks (A)=Int( )=
Sehingga b(A)={a,b}

Teorema 2:
Jika (S, ) adalah ruang topologi dan maka dan .

Contoh:
A=(a,b], Int(A)=(a,b) dan b(A)={a,b}.
=(a.b) {a,b}=[a,b]
=[a,b] maka

• A dikatakan tidak rapat dimana-mana pada S jika Int( )= .
• Titik disebut titik terasing jika .
• Suatu himpunan bagian dari S disebut sempurna jika himpunan tersebut tertutup dan tidak mempunyai titik terasing.

Contoh:
1. Q adalah bilangan Rasional.
, maka Int ( )=  jadi Q tidak rapat dimana-mana.
Q- = , =Q  jadi Q tidak mempunyai titik terasing.
2.
Int =  Jadi tidak rapat dimana-mana.
3. A= , titik limit dari A = 0
jadi semuanya adalah titik terasing kecuali 0.
Int =  tidak rapat dimana-mana.

Persekitaran

Definisi 13: Jika (S, ) adalah ruang topologi maka , disebut persekitaran p jika sedemikian hingga .
Dengan kata lain:
adalah persekitaran jika dan hanya jika N memuat suatu himpunan buka yang memuat p.
Simbol: , N(p) atau N(p,r) artinya Persekitaran di titik pusat p dengan jari-jari r.

Contoh:
1. Tentukan yaitu persekitaran titik 0 pada interval dibawah ini:
a.  Ya ada.
b. [-1,0]  tidak ada.
c.  tidak ada.
d. (0,1]  tidak ada.


2. Tentukan dari S={a,b,c,d,e} dan
?
Jawab:
Himpunan buka yang memuat b = {S, {a,b}, {a,b,c,d}, {a,b,e}}
Himpunan bagian S yang memuat S=S
Himpunan bagian S yang memuat {a,b}
={{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}, S}
Himpunan bagian S yang memuat {a,b,c,d} ={{a,b,c,d}, S}
Himpunan bagian S yang memuat {a,b,e} = {a,b,e}, {a,b,d,e}, {a,b,c,e}, S}.

= himpunan buka yang memuat b Himpunan bagian S yang memuat S Himpunan bagian S yang memuat {a,b} Himpunan bagian S yang memuat {a,b,c,d} Himpunan bagian S yang memuat {a,b,e}
={S,{a,b},{a,b,c,d},{a,b,e}} S {{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},
{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},S} {{a,b,c,d},S} {a,b,e}, {a,b,d,e}, {a,b,c,e},S}
={S}
























TUGAS

1. Jika S={a,b,c}, buktikan bahwa
Topologi pada S?

2. , dan .
Tentukan Interior dari A, Eksterior dari A, Batas dari A?

3. Jika S={a,b,c,d,e}, dan . Tentukan:
a. Himpunan terbuka dari ?
b. Himpunan tertutup dari ?
c. ,
d.
e. Titik limit dari a?
f. Titik interior dari A={a,b,c}?
g. Titik eksterior dari A?
h. Perbatasan dan titik batas dari A?

4. Jika S={1,2}, dan . Tentukan:
a. Himpunan terbuka dari ?
b. Himpunan tertutup dari ?
c. ,
d. Titik limit dari a?
e. Titik interior dari A={1}?
f. Titik eksterior dari A?
g. Perbatasan dan titik batas dari A?
h. Persekitaran dari A?

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar